Question

（2013•嘉興二模）一個(gè)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出3球中白球的個(gè)數(shù)，已知P(X=3)=

5

21

．
（Ⅰ）求袋中白球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）設(shè)袋中有白球n個(gè)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得到P（X=3）=

C 3 n

C 3 9

，解出即可；
（II）由（I）可知：袋中共有3個(gè)黑球，6個(gè)白球．隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3．利用超幾何分布P（X=k）=

C 3-k 3 C k 6

C 3 9

（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)袋中有白球n個(gè)，則P(X=3)=

C 3 n

C 3 9

=

5

21

，
即

n(n-1)(n-2)

9×8×7

=

5

21

，解得n=6．
故袋中白球的個(gè)數(shù)為6；
（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3個(gè)黑球，6個(gè)白球．
隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3．
則P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，P（X=2）=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

15

28

，P（X=3）=

5

21

．
隨機(jī)變量X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

E(X)=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和超幾何分布的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．