Question

設函數f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a為常數．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數m，使得g（a）-m≤0對于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式可得函數開口方向及對稱軸，分類討論給定區間與對稱軸的關系，分析函數的單調性后，可得最值；
（2）若g（a）-m≤0恒成立，則m不小于g（a）的最大值，分析函數g（a）的單調性求陽其最值可得答案．

解答：解：（1）對稱軸x=-a
①當-a≤0⇒a≥0時，
f（x）在[0，2]上是增函數，x=0時有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②當-a≥2⇒a≤-2時，
f（x）在[0，2]上是減函數，x=2時有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③當0＜-a＜2⇒-2＜a＜0時，
f（x）在[0，2]上是不單調，x=-a時有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)=

-a-1 -a2-a 3a+3

a≥0 -1 -2＜a＜0 a≤-2

…（2分）
（2）存在，
由題知g（a）在(-∞，-

1

2

]是增函數，在[-

1

2

，+∞)是減函數
∴a=-

1

2

時，g(a)max=-

3

4

，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
⇒g（a）_max≤m，
∴m≥-

3

4

…（2分），
∵m為整數，
∴m的最小值為0…（1分）

點評：本題考查的知識點是函數的恒成立問題，函數解析式的求法，其中（1）中分類討論思想，（2）中的轉化思想是高中數學中最重要的數學思想，一定要熟練掌握