Question

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2）相切

試題分析：（1）由橢圓的左右頂點分別為，離心率，即可求出的值.即可得到結論.
（2）依題意假設點C坐標，以及點R的坐標，由點A，C，R三點共線即可求得點R的坐標表示.從而表示出點D的坐標，寫出直線CD的方程，再計算圓心到該直線的距離，再根據點C在圓上，即可判斷直線與圓的位置關系.
（1）由題意可得，，  ∴．     2分
∴，                       3分
所以橢圓的方程為．                      4分
（2）解法一：曲線是以為圓心，半徑為2的圓.
設，點的坐標為，       5分
∵三點共線，   ∴，       6分
而，，則，
∴，                               7分
∴點的坐標為，點的坐標為，      8分
∴直線的斜率為，
而，∴，
∴，                                     10分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，       11分
所以直線與曲線相切．                      12分
解法二：同解法一得，          10分
又，故，即，
所以直線與圓相切．                      12分