Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（1）求證：BF⊥平面ACFD；
（2）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF平面BCK；

∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；

∴BF⊥平面ACFD

（2）

∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直線BD和平面ACFD所成的角；

∵F為CK中點，且DF∥AC；

∴DF為△ACK的中位線，且AC=3；

∴ ；

又 ；

∴在Rt△BFD中， ，cos ；

即直線BD和平面ACFD所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）根據三棱臺的定義，可知分別延長AD，BE，CF，會交于一點，并設該點為K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，進而得出BF⊥AC．而根據條件可以判斷出點E，F分別為邊BK，CK的中點，從而得出△BCK為等邊三角形，進而得出BF⊥CK，從而根據線面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（2）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF為直線BD和平面ACFD所成的角，根據條件可以求出BF= ，DF= ，從而在Rt△BDF中可以求出BD的值，從而得出cos∠BDF的值，即得出直線BD和平面ACFD所成角的余弦值．
考查三角形中位線的性質，等邊三角形的中線也是高線，面面垂直的性質定理，以及線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法，直角三角形邊的關系，三角函數的定義．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．