Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若對定義域每的任意恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對于任意正整數，不等式恒成立。

Answer 1

. 。
（Ⅰ）當時，若，則，若，則，故此時函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；
當時，的變化情況如下表：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；
當時，，函數的單調遞增區間是；
當時，同可得，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是。
（Ⅱ）由于，顯然當時，，此時對定義域每的任意不是恒成立的，
當時，根據（1），函數在區間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，故得實數的取值范圍是。
（Ⅲ）當時，，等號當且僅當成立，這個不等式即，當時，可以變換為，
在上面不等式中分別令，

所以 

略