Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1）當(dāng)焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)軸時(shí)，可以分別討論在軸時(shí)，，代入點(diǎn)，當(dāng)在軸時(shí)，代入點(diǎn)解或，成立的就是橢圓方程;或直接設(shè)橢圓的一般式，代入三點(diǎn)的坐標(biāo)解方程組；

（2）直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得到和設(shè)直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)的方程為后有三種方法，法一，當(dāng)時(shí)計(jì)算交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并根據(jù)直線(xiàn)方程與根與系數(shù)的關(guān)系證明縱坐標(biāo)相等，法二是聯(lián)立直線(xiàn)與的方程，消去后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于4，法三類(lèi)似于法二，只是先通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系先消去，得到與的關(guān)系，然后再聯(lián)立兩個(gè)方程得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4．

試題解析：（1）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），

則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得．

∴橢圓的方程為．

當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），

則，又點(diǎn)在橢圓上，得．

解得，這與矛盾．

綜上可知，橢圓的方程為．

解法二：設(shè)橢圓方程為（），

將、、代入橢圓的方程，得

解得，．

∴橢圓的方程為．

（2）證法一：將直線(xiàn)：代入橢圓的方程并整理，得，

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．

直線(xiàn)的方程為：，它與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

同理可求得直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：

∵，，

∴

．

因此結(jié)論成立．

綜上可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．

證法二：將直線(xiàn)：，代入橢圓的方程并整理，

得，

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．

直線(xiàn)的方程為：，即．

直線(xiàn)的方程為：，即．

由直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程消去，得

．

∴直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．

證法三：將直線(xiàn)：，代入橢圓方程并整理，

得，

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．

消去得，．

直線(xiàn)的方程為：，即．

直線(xiàn)的方程為：，即．

由直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程消去得，

．

∴直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．