Question

已知：α，β為銳角，且3sin²α+2sin²β=1，3sin2α-2sin2β=0．求證：α+2β=

π

2

．

Answer 1

分析：欲證：α+2β=

π

2

．往往通過轉化為證明其某一三角函數值是一個特殊值得到證明，利用題中的兩個關系，我們先求sin（α+2β）的值即可解決問題．

解答：解：由3sin²α+2sin²β=1，得：3sin²α=cos2β．
由3sin2α-2sin2β=0，得：sin2β=

3

2

sin2α=3sinαcosα．
∴sin²2β+cos²2β=9sin²αcos²α+9sin⁴α
∴9sin²α=1．
∴sinα=

1

3

（α為銳角）
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin²α）+cosα（3sinαcosα）
=3sinα（sin²α+cos²α）=3sinα=1
∴α+2β=

π

2

．

點評：本題主要考查了同角三角函數基本關系的運用以及二倍角公式，證明的關鍵是求出sin（α+2β），是一道三角變換的中檔題．