Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形， 為上的點，過的平面分別交于點，且平面．

（1）證明： ；

（2）當為的中點， ， 與平面所成的角為，求平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）連交于點，連，則得，進而可得平面，于是．由線面平行的性質可得，所以得．（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，然后分別求出平面AMHN與平面ABCD的法向量，通過兩法向量的夾角的余弦值可得所求．

試題解析：

（1）證明：連交于點，連．

因為四邊形為菱形，

所以，且為、的中點．

因為，

所以，

又且平面，

所以平面，

因為平面，

所以．

因為平面， 平面，平面平面，

所以，

所以．

（2）由（1）知且，

因為，且為的中點，

所以，

又，

所以平面，

所以與平面所成的角為，

所以，

因為，

所以．

分別以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系．

設，則

，

所以

設平面的法向量為，

則，令，得．

由題意可得平面的法向量為，

所以．

所以平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為．