Question

（本小題滿分16分）
設函數（其中常數>0，且≠1）．
（Ⅰ）當時，解關于的方程（其中常數）；
（Ⅱ）若函數在上的最小值是一個與無關的常數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）
當m＞3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg和x＝lg；
當2＜m≤3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg
（2）當a≥時，f(x)在(－∞，2]上的最小值與a無關

解（Ⅰ）f(x)＝
①當x＜0時，f(x)＝＞3．因為m＞2．則當2＜m≤3時，方程f(x)＝m無解；
當m＞3，由10^x＝，得x＝lg．                     …………………… 1分
②當x≥0時，10^x≥1．由f(x)＝m得10^x＋＝m，∴(10^x)²－m10^x＋2＝0．
因為m＞2，判別式＝m²－8＞0，解得10^x＝．…………………… 3分
因為m＞2，所以＞＞1．所以由10^x＝，解得x＝lg．
令＝1，得m＝3．                             …………………… 4分
所以當m＞3時，＝＜＝1，
當2＜m≤3時，＝＞＝1，
解得x＝lg．…………… 5分
綜上，當m＞3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg和x＝lg；
當2＜m≤3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg．…………………… 6分
(2)
（Ⅰ）若0＜a＜1，當x＜0時，0＜f(x)＝＜3；當0≤x≤2時，f(x)＝a^x＋．… 7分
令t＝a^x，則t∈[a²，1]，g(t)＝t＋在[a²，1]上單調遞減，所以當t＝1，即x＝0時f(x)取得最小值為3．
當t＝a²時，f(x)取得最大值為．此時f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，沒有最小值．…………………… 9分
（Ⅱ）若a＞1，當x＜0時，f(x)＝＞3；當0≤x≤2時f(x)＝a^x＋．
令t＝a^x，g(t)＝t＋，則t∈[1，a²]．
①若a²≤，g(t)＝t＋在[1，a²]上單調遞減，所以當t＝a²即x＝2時f(x)取最小值a²＋，最小值與a有關；…………………………… 11分
②a²≥，g(t)＝t＋在[1，]上單調遞減，在[，a²]上單調遞增，…………13分
所以當t＝即x＝log_a時f(x)取最小值2，最小值與a無關．……………… 15分