Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，4)，離心率， 直線(xiàn)交橢圓于M,N兩點(diǎn)．
（1）若直線(xiàn)的方程為y=x-4，求弦MN的長(zhǎng)：
（2）如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由橢圓頂點(diǎn)知，又離心率，且，所以，從而求得橢圓方程為，聯(lián)立橢圓方程與直線(xiàn)消去得，，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可求得弦的長(zhǎng)；（2）由題意可設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)知，可求得的坐標(biāo)為，又設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)中點(diǎn)公式得，又由點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)所以，兩式相減整理得，從而可求出直線(xiàn)的方程.
（1）由已知，且，.所以橢圓方程為.    4分
由與聯(lián)立，消去得，.    6分
.    7分
（2）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，又，，故得.所以得的坐標(biāo)為.    9分
設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，且，兩式相減得.    11分
，故直線(xiàn)的方程為.    13分