Question

【題目】已知二次函數，關于的不等式的解集為，，設．

（）求的值．

（）如何取值時，函數存在極值點，并求出極值點．

（）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據二次不等式解集與二次方程根的關系可得，解得的值．（2）先求導數，再研究導函數零點：沒有零點就沒有極值點，有零點但不在定義區間，也不是零點；零點在定義區間且附近導函數變號才是零點；（3）先根據二項展開式化簡不等式左邊式子，并根據基本不等式放縮，再根據倒序相加法求中間的和，利用基本不等式放縮即得結論.

試題解析：（）因為關于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

所以，

所以，

所以，所以．

（）由（）得，

所以的定義域為，

所以，

方程（*）的判別式

．

①當時，，方程（*）的兩個實根為，，

則時，；時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數有極小值點．

②當時，由，得或，若，

則，，故時，，

所以函數在上單調遞增．所以函數沒有極值點，

若時，，，

則時，；時，；時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數有極小值點，有極大值點，

綜上所述，當時，取任意實數，函數有極小值點，

當時，，函數有極小值點，有極大值點，

（其中，）．

（）因為，所以，

所以，

令，

則，

因為，所以

，

所以，即．