Question

（2012•江西）已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數的導數，將函數在[0，1]上單調遞減轉化為導數在[0，1]上的函數值恒小于等于0，再結合f（0）=1，f（1）=0這兩個方程即可求得a取值范圍；
（2）由題設條件，先給出g（x）=f（x）-f′（x）的解析式，求出導函數，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，由于參數a的影響，函數在[0，1]上的單調性不同，結合（1）的結論及g′（x）可得．
（i）當a=0時；（ii）當a=1時；（iii）當0＜a＜1時，分三類對函數的單調性進行討論，確定并求出函數的最值

解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，則f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由題意函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調遞減可得對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
當a＞0時，因為二次函數y=ax²+（a-1）x-a圖象開口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
當a=1時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函數符合條件；
當a=0時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函數符合條件；
當a＜0時，因f′（0）=-a＞0函數不符合條件；
綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1
（2）因為 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x-[ax²+（a-1）x-a]e^x=（-2ax+a+1）e^x，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，
（i）當a=0時，g′（x）=e^x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）當a=1時，對于任意x∈（0，1）有g′（x）=-2xe^x＜0，則有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）當0＜a＜1時，由g′（x）=0得x=

1-a

2a

＞0，
①若

1-a

2a

≥1，即0＜a≤

1

3

時，g（x）在[0，1]上是增函數，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若

1-a

2a

＜1，即

1

3

＜a＜1時，g（x）在x=

1-a

2a

取得最大值g（

1-a

2a

）=2ae

1-a

2a

，在x=0或x=1時取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，則
當

1

3

＜a≤

e-1

e+1

時，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
當

e-1

e+1

≤a＜1時，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e

點評：本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值，利用導數研究函數的單調性，此類題解題步驟一般是求導，研究單調性，確定最值，求最值，第一掌上明珠解題的關鍵是把函數在閉區間上遞減轉化為函數的導數在此區間上小于等于0恒成立，將單調遞減的問題轉化為不等式恒成立是此類題常用的轉化思路，第二小題求含有參數的函數在某個區間上的最值，解題的關鍵是分類討論確定出函數的最值，本題考查了轉化的思想，推理判斷的能力，計算量大，難度較大，極易因為判斷不準轉化出錯或計算出錯，常作為高考的壓軸題．