Question

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連結橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左頂點作直線交橢圓于另一點, 若點是線段垂直平分線上的一點,且滿足,求實數的值．

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）滿足條件的實數的值為或.

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質及到直線的距離為，建立的方程組即得；
（2）由（1）知:, 設
根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
應用韋達定理以便于確定線段的中點坐標為.
討論當，的情況，確定的值.
試題解析：（1）設,的坐標分別為,其中
由題意得的方程為:
因到直線的距離為,所以有,解得    1分
所以有   ①
由題意知: ,即 ②
聯立①②解得:
所求橢圓的方程為                  5分
（2）由（1）知:, 設
根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達定理得,則,，
，線段的中點坐標為   7分
(ⅰ)當時, 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:           9分
（ii）因為點是線段垂直平分線的一點,
令,得:，于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實數的值為或           13分