Question

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）y＝2x

試題分析：（Ⅰ）依題意設出A、B、C、D四點的坐標，注意到AC的斜率為0，只需證AB、AD的斜率之和為0即可；（Ⅱ）四邊形ABCD可以AC為底分成兩個三角形求出面積，解出得到的方程即可.
試題解析：（Ⅰ）設A(x₀，)，B(x₁，)，C(－x₀，)，D(x₂，)．
對y＝x²求導，得y¢＝2x，則拋物線在點C處的切線斜率為－2x₀．
直線BD的斜率k＝＝x₁＋x₂，
依題意，有x₁＋x₂＝－2x₀．     
記直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂，與BD的斜率求法同理，得
k₁＋k₂＝(x₀＋x₁)＋(x₀＋x₂)＝2x₀＋(x₁＋x₂)＝0，
所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．   
（Ⅱ）由題設，x₀＝－1，x₁＋x₂＝2，k＝2．四邊形ABCD的面積
S＝|AC|·＝|AC|·|x₂＋x₁|·|x₂－x₁|
＝×2×2×|2－2x₁|＝4|1－x₁|，
由已知，4|1－x₁|＝4，得x₁＝0，或x₁＝2．
所以點B和D的坐標為(0，0)和(2，4)，
故直線BD的方程為y＝2x．