Question

如圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為2，高為1，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記CD=2x，梯形面積為S．則S的最大值是

32

27

．

Answer 1

分析：建立坐標系，求出拋物線的方程，進而可求梯形的高，從而可求梯形的面積，利用基本不等式即可求得最大值．

解答：解：建立如圖所示的坐標系，設拋物線的標準方程為x²=-2py（p＞0）
則B（1，-1），代入拋物線方程可得2p=1，∴拋物線方程為x²=-y
∵CD=2x，∴D（x，-x²）
∴梯形的高為1-x²，梯形的面積為S=（x+1）（1-x²），x∈（0，1）
S=（x+1）（1-x²）=

1

2

（x+1）²（2-2x）≤

1

2

×(

x+1+x+1+2-2x

3

)3=

32

27

，
當且僅當x+1=2-2x，即x=

1

3

時，S的最大值是

32

27

故答案為：

32

27

點評：本題考查函數模型的構建，考查拋物線方程，考查函數的最值，確定梯形的高是關鍵．