Question

【題目】設函數f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3 ． 又函數g（x）=|xcos（πx）|，則函數h（x）=g（x）﹣f（x）在 上的零點個數為（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因為當x∈[0，1]時，f（x）=x3 ．
所以當x∈[1，2]時2﹣x∈[0，1]，
f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3 ，
當x∈[0， ]時，g（x）=xcos（πx），
g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；
當x∈ 時，g（x）=﹣xcosπx，
g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．
注意到函數f（x）、g（x）都是偶函數，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
f（﹣ ）=f（ ）= ，f（ ）=（2﹣ ）3= ，
g（﹣ ）=g（ ）=g（ ）=0，g（1）=1，
g′（1）=1＞0，
根據上述特征作出函數f（x）、g（x）的草圖，
函數h（x）除了0、1這兩個零點之外，
分別在區間[﹣ ，0]，[0， ]，[ ，1]，[1， ]上各有一個零點．
共有6個零點，
故選B

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．