Question

【題目】已知函數f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)

Answer 1

【答案】C
【解析】 ，令 ，得 ，
當 時， ，存在兩個零點，不合題意；
當 時， ，所以 在 上單調增，在 單調減，在
單調增， 所以當 時 取極小值， 取極大值， ， 時， ，此時必有一個負零點，不合題意；
當 時， ， 在 上為減函數，在 為增函數，在 為減函數， 為極大值點， 為極小值點， ，若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,只需 ，解得 ,
所以答案是：C.
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的零點與方程根的關系(二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點)，還要掌握函數的零點(函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點)的相關知識才是答題的關鍵．