Question

【題目】平面上有12個(gè)點(diǎn),且任意三點(diǎn)不共線,以其中任意一點(diǎn)為始點(diǎn),另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的“零三角形”個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】70

【解析】

設(shè)這12個(gè)點(diǎn)分別為,這12個(gè)點(diǎn)確定的三角形共有個(gè).設(shè)以

為始點(diǎn)的向量數(shù)為.若以某3點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為“非零三角形”,則有且僅有1點(diǎn)是此三角形兩邊向量的始點(diǎn),所以,以,為頂點(diǎn)之一且為兩邊始點(diǎn)的非零三角形”有個(gè)(規(guī)定).從而,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中,“非零三角形的總數(shù)為.

因此,“零三角形”的個(gè)數(shù)為

先求的最小值

因?yàn)?/span>所以

因非負(fù)整數(shù)不超過11,故有最小值

若存在,使得可記.

顯然,則

.

又,則對(duì)于所有的下,只有當(dāng)或1時(shí), 才取最小值即當(dāng)時(shí), 取最小值.

所以, 的最小值為.

因此“零三角形”個(gè)數(shù)的最大值為.

注:此題中,因?yàn)?/span>,所以,不能用均值不等式求的最小值.故此最小值不為.