Question

（2013•房山區二模）已知函數f(x)=(x2+x-a)e

x

a

（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x=-5時，f（x）取得極值．
①若m≥-5，求函數f（x）在[m，m+1]上的最小值；
②求證：對任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），當a=1時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）①當x=-5時f（x）取得極值可得f′（-5）=0，由此求得a值，從而利用導數可求得f（x）的單調區間及極值點，按極值點在區間[m，m+1]內、外討論f（x）的單調性，由單調性即可求得f（x）的最小值；②對任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x），利用導數易求得函數在[-2，1]內的最大值、最小值；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

a

(x2+x-a)e

x

a

+（2x+1）e

x

a

=

1

a

x(x+1+2a)e

x

a

，
當a=1時，f′（x）=x（x+3）e^x，
解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）的單調增區間為（-∞，-3）和（0，+∞），單調減區間為（-3，0）．
（Ⅱ）①當x=-5時，f（x）取得極值，所以f′（-5）=

1

a

(-5)(-5+1+2a)e

x

a

=0，
解得a=2（經檢驗a=2符合題意），
f′（x）=

1

2

x(x+5)e

x

2

，當x＜-5或x＞0時f′（x）＞0，當-5＜x＜0時f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上遞增，在（-5，0）上遞減，
當-5≤m≤-1時，f（x）在[m，m+1]上單調遞減，f_min（x）=f（m+1）=m（m+3）e

m+1

2

，
當-1＜m＜0時，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上單調遞減，在[0，m+1]上單調遞增，f_min（x）=f（0）=-2，
當m≥0時，f（x）在[m，m+1]上單調遞增，f_min（x）=f（m）=（m+2）（m-1）e

m

2

，
綜上，f（x）在[m，m+1]上的最小值為
fmin(x)=

m(m+3)e m+1 2 ，-5≤m≤-1 -2，-1＜m＜0 (m+2)(m-1)e m 2 ，m≥0

；
②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍），
因為f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以f_max（x）=0，f_min（x）=-2，
所以對任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=2．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度較大．