Question

設點是曲線上的動點，點到點（0，1）的距離和它到焦點的距離之和的最小值為.
（1）求曲線C的方程；
（2）若點的橫坐標為1，過作斜率為的直線交于點，交軸于點，過點且與垂直的直線與交于另一點，問是否存在實數，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）.

第一問中國，利用依題意知，解得，所以曲線的方程為
第二問中，設直線的方程為：，則點聯立方程組，消去得
得.所以得直線的方程為.
代入曲線，.解得
解：（Ⅰ）依題意知，解得.
所以曲線的方程為. ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意直線的方程為：，則點
聯立方程組，消去得所以直線的斜率，從而得到結論。
得.………………………………………………………………………………6分
所以得直線的方程為.
代入曲線，得.
解得.…………………………………………………………………8分
所以直線的斜率…………………………10分
過點的切線的斜率.
由題意有.
解得.
故存在實數使命題成立.……………………………………………………………12分