Question

【題目】某廠家擬在2017年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）（單位：萬件）與年促銷費用（單位：萬元）（）滿足（ 為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2017年生產該產品的固定投入為8萬元．每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．

（1）將2017年該產品的利潤（單位：萬元）表示為年促銷費用（單位：萬元）的函數；

（2）該廠家2017年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大?

Answer 1

【答案】（1）（）, （2）該廠家2017年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元

【解析】試題分析：（1）由題目中產品的年銷售量x萬件與年促銷費用m萬元的函數關系式為：，當m=0時，x=1，可得k的值，即得x關于m的解析式；又每件產品的銷售價格為1.5倍的成本，可得利潤y與促銷費用之間的關系式；

（2）對（1）利潤函數解析式進行變形，進而利用基本不等式求最大值即可．

試題解析：

（1）由題意知，當m=0時，x=1，

∴1=3﹣k，即k=2，

∴；

每件產品的銷售價格為1.5×（萬元），

∴利潤函數y=x[1.5×]﹣（8+16x+m）

=4+8x﹣m=4+8（3﹣）﹣m

=﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．

（2）因為利潤函數y=﹣[+（m+1）]+29（m≥0），

所以，當m≥0時，+（m+1）≥8，

∴y≤﹣8+29=21，當且僅當=m+1，即m=3（萬元）時，ymax=21（萬元）．

所以，該廠家2017年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．