Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosa y=sina

（1）求曲線C的普通方程；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線L的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）把橢圓的參數(shù)方程右邊的系數(shù)都化為1，然后直接平方作和即可得到答案；
（2）設(shè)出與已知直線平行的直線方程，和橢圓聯(lián)立后由判別式等于0解出該直線方程，然后由兩平行線間的距離公式求出曲線上的動點到直線x-y+4=0的距離．

解答：解：（1）由曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosa y=sina

，
得

x 3 =cosa① y=sina②

，①²+②²得，

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)與直線L平行的直線為x-y+m=0，
聯(lián)立

x-y+m=0 x2 3 +y2=1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，
由△=36m²-16（3m²-3）=-12m²+48=0，得m=±2．
所以當(dāng)m=2時，即直線x-y+2=0與橢圓相切時，橢圓上的動點為切點時到直線x-y+4=0的距離最小，
最小距離為d=

|4-2|

2

=

2

．

點評：本題考查了橢圓的參數(shù)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．