Question

【題目】已知A（1， ）是離心率為 的橢圓E： + =1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，過(guò)A作兩條直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，若直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）試證明直線BC的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；
（3）△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值？若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓的離心率為 ，∴ ，∴a2=2b2

∴橢圓方程為

∵A（1， ）是橢圓上的點(diǎn)，

∴

∴b2=2

∴橢圓方程為

（2）證明：設(shè)直線AB的方程為 ，代入橢圓方程可得（k2+2）x2﹣ x+（ ）=0，∵x=1是方程的一個(gè)實(shí)根，

∴由韋達(dá)定理得，1+xB= ，故xB= ，

∴ = ，

∴B（ ， ），

∵AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，故其斜率互為相反數(shù)，用﹣k代替k可得

C（ ， ），∴ = =

（3）解：設(shè)BC的方程為y= x+m，由 可得 ，

設(shè)方程的兩根為x1，x2，于是|BC|= = ，

又A（1， ）到直線BC的距離為d= ，

∴ = ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)m2=4時(shí)等號(hào)成立，故△ABC的面積的最大值為

【解析】（1）利用A（1， ）是離心率為 的橢圓E： + =1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，確定B，C的坐標(biāo)，即可求出直線BC的斜率為定值；（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定三角形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．