Question

已知函數f（x）是定義域為（-1，1）上的奇函數也是減函數
（1）若x∈（-1，0）時，f（x）=-x+1，求f（x）；
（2）若f（1-a）＜f（a²-1），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x∈（0，1），則-x∈（-1，0），根據已知表達式可求得f（-x），由奇函數性質可得f（-x）與f（x）的關系，從而可求得f（x）；由f（-0）=-f（0）可求得f（0），從而可得結論；
（2）利用函數f（x）的單調性可去掉不等式f（1-a）＜f（a²-1）中的符號“f”，從而轉化為具體不等式，考慮到函數定義域，可得一不等式組，由此可得答案．

解答：解：（1）設x∈（0，1），則-x∈（-1，0），
由x∈（-1，0）時，f（x）=-x+1，得f（-x）=x+1，
又f（x）為（-1，1）上的奇函數，
所以f（-x）=-f（x），則-f（x）=x+1，
故f（x）=-x-1；
因為f（x）為（-1，1）上的奇函數，
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
所以f（x）=

-x+1，-1＜x＜0 0，x=0 -x-1，0＜x＜1

．
（2）因為f（x）為（-1，1）上的減函數，且f（1-a）＜f（a²-1），
所以有

-1＜1-a＜1 -1＜a2-1＜1 1-a＞a2-1

，解得0＜a＜1．
故a的取值范圍是：0＜a＜1．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法，解決（2）問的關鍵是利用單調性化抽象不等式為具體不等式．