Question

（2012•石景山區(qū)一模）如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個(gè)點(diǎn)，C、D在平面β內(nèi)，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得∠APD=∠BPC，則P-ABCD體積的最大值是（　　）

• A．24

  3

• B．16
• C．48
• D．144

Answer 1

分析：本題需要借助直二面角的相關(guān)知識(shí)研究三角形的幾何特征，由題設(shè)條件知兩個(gè)直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足為D，令A(yù)D=t，將四棱錐的體積用t表示出來(lái)，由二次函數(shù)求最值可得出正確選項(xiàng)．

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β，令A(yù)M=t∈R，在兩個(gè)Rt△PAM與Rt△PBM中，PM是公共邊及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t2

，即四棱錐的高為

12-4t-t2

，底面為直角梯形，S=

1

2

×(4+8)×6=36
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×36×

12-4t-t2

=12

16-(t+2)2

≤12×

16

=48，
即四棱錐P-ABCD體積的最大值為48，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解答本題，關(guān)鍵是將由題設(shè)條件得出三角形的性質(zhì)、：兩鄰邊的值有2倍的關(guān)系，第三邊長(zhǎng)度為6，引入一個(gè)變量，從而利用函數(shù)的最值來(lái)研究體積的最值，是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解的思想，屬中檔題．