Question

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,8)，N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)以M點(diǎn)為起點(diǎn)的任意兩條射線l1，l2的斜率乘積為1，并且l1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H兩點(diǎn)．求證：直線GH過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）y2＝4x（2）(10,0)

【解析】∵＝，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12,8)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,6)，∴62＝18p，∴p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.

(2)證明:由條件可知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設(shè)l1：y＝k(x－12)＋8，則l2的方程為y＝(x－12)＋8，由得ky2－4y＋32－48k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－24)＋16，∴x1＋x2＝－＋24，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，用代替k，得到點(diǎn)H坐標(biāo)為(2k2－8k＋12,2k)，∴kGH＝

∴lGH：y－2k＝ [x－(2k2－8k＋12)]．

令y＝0，則x＝10，所以直線GH過(guò)定點(diǎn)(10,0)