Question

【題目】已知函數在處取得極值.

(1)討論和是函數的極大值還是極小值;

(2)過點作曲線的切線,求此切線方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】第一問由函數在處取得極值.

說明了′（1）= ′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函數的單調性，得到極值問題。

第二問中，要求過點作曲線的切線，先設出切點坐標，然后結合導數的幾何意義得到斜率，表示切線方程，再將A點代入方程中得到點的坐標，求解得到。

解:（1）′(x)=3ax2+2bx-3，依題意，′（1）= ′（-1）=0，即

3a+2b-3=0，

3a-2b-3=0.解得a=1， b="0."

∴（x）=x3-3x，′(x)=3x2-3=3（x+1）（x-1）.

令′(x)=0，得x1=-1，x2=1.

若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則′(x)>0,故（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數.

若x∈（-1,1），則′(x)<0,故（x）在（-1,1）上是減函數.

所以（-1）=2是極大值，（1）=-2是極小值.

（1）曲線方程為y=x3-3x,點A（0,16）不在曲線上，設切點為M（x0,y0）

則點M的坐標滿足y0= x03-3x0，

因為f’(x0)=3(x02-1),故切線方程為

y-y0=3(x02-1)(x-x9)

因為點A在曲線上，則可知16-（x03-3x0）=3(x02-1)(x-x9)

化簡得到x0=-2，

所以切點坐標為M（-2，-2）,切線方程為9x-y+16=0