Question

如圖，在三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形，
（Ⅰ）求證：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面APC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，
∴MD∥AP，
又MD?平面ABC，
∴MD∥平面APC．
（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點，
∴MD⊥PB．
又由（Ⅰ）知MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，
∴AP⊥BC，
又AC⊥BC，而AP∩AC=A，
∴BC⊥平面APC，
又BC包含于平面ABC
∴平面ABC⊥平面PAC．