Question

如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見解析(2) －

（Ⅰ）由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空間直角坐標系如圖，則, ．
由M為PB中點，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．                             
（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，
則，從而x+z=0； ……①, ，從而． ……②
由①、②，取x=?1，則．  ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值為－．