Question

如圖，以A₁，A₂為焦點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C，D，C₁，D₁，連接CC₁與OB交于點H，且有：

OH

=(3+2

3

)

HB

．其中A₁，A₂，B是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意正實數c，雙曲線E的離心率為常數．
（3）連接A₁C與雙曲線E交于F，是否存在
實數λ，使

A1F

=λ

FC

恒成立，若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得B的坐標和H的坐標，設出曲線E的方程，把點C代入曲線E，利用半焦距c聯立方程求得a和b，則曲線E的方程可得．
（2）根據題意可表示出H的坐標，設出曲線E的方程，聯立方程求得a和b的關系，進而根據雙曲線中a，b和c關系求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可得．推斷出雙曲線E的離心率為常數．
（3）先假設存在實數λ，依題意可知C點坐標，利用

A1F

=λ

FC

表示出F的坐標，分別代入雙曲線的方程，聯立求得λ關于e的表達式，進而根據（2）中e為常數推斷出存在實數λ使題設等式成立．

解答：解：（1）由c=1知B（0，1），∵

OH

=(3+2

3

)

HB

，
∴xH=0，yH=

3+2 3

4+2 3

=

3

2

即H（0，

3

2

）點C在單位圓上，∴C=（

1

2

，

3

2

）
設雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由點C的雙曲線E上，半焦距c=1有：

a2+b2=1 1 4a2 - 3 4b2 =1

解得

a2=1- 3 2 b2= 3 2

所以雙曲線E的方程為：

x2

1- 3 2

-

y2

3 2

=1
（2）證明：∵A₁（-c，0），B（0，c），
由O

H

=(3+2

3

)H

B

得：H（0，

3

2

），（

1

2

c，

3

2

c）
設雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴

a2+b2=c2① c2 4a2 - 3c2 4b2 =1②

①代入②，化簡整理得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
∴(

b

a

)4-6(

b

a

)2-3=0
解得(

b

a

)2=3+2

3

又e2=

c2

a2

=1+(

b

a

)2=4+2

3

．
∴e=

4+2 3

=

3

+1，即雙曲線E的離心離是與c無關的常數．
（3）假設存在實數λ，使A1

F

=λF

C

恒成立，
A₁（-c，0），C(

c

2

，

3 c

2

)有xF=

-c+ c 2 •λ

1+λ

，yf=

3 2 •λ

1+λ

點F

c(λ-2)

2(1+λ)

，

3 λ

2(1+λ)

點C，F都在雙曲線E上，
故有

c2 4a2 - 3c2 4b2 =1③ c2(λ-2)2 4a2(1+λ)2 - 3c2λ2 4b2(1+λ)2 ④

由③得e2-

3c2

b2

=4?

c2

b2

=

e2-4

3

⑤
⑤代入④得

e2(λ-2)2

4(1+λ)2

-(e2-4)•

λ2

4(1+λ)2

=1，
化簡整理得-λe²+e²=2λ+1
即λ=

e2-1

e2+2

，利用（2）小題的結論得：λ=

3+2 3

6+2 3

=

1+ 3

4

故存在實數λ=

1+ 3

4

，使A1

F

=λF

C

恒成立．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，雙曲線的標準方程和雙曲線的簡單性質．考查了運算的能力，分析問題的能力．