Question

借助計算機（器）作某些分段函數圖象時，分段函數的表示有時可以利用函數S(x)=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函數g(x)=

x，x＞2 0，x=2 -x，x＜2.

可以將g（x）表示為g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．
設f（x）=（-x²+4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）．
（Ⅰ）請把函數f（x）寫成分段函數的形式；
（Ⅱ）設F（x）=f（x-k），且F（x）為奇函數，寫出滿足條件的k值；（不需證明）
（Ⅲ）設h（x）=（x²-x+a-a²）S（x-a）+（x²+x-a-a²）S（a-x），求函數h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I）分當x＞1、當x=1和當x＜1時3種情況加以討論，分別根據S（x）的對應法則代入，可得f（x）相應范圍內的表達式，最后綜合可得函數f（x）寫成分段函數的形式；
（II）因為函數F（x）的定義域為R，所以F（x）為奇函數，得F（0）=f（-k）=0，由此結合-k的范圍代入f（x）的表達式，再根據奇函數的定義加以驗證，即可得到滿足條件的k值；
（III）由題意，可得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

，再結合二次函數的圖象與性質，分a≥

1

2

、0≤a＜

1

2

、-

1

2

＜a＜0和a≤-

1

2

的4種情況進行討論，最后綜合可得當a≤0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

；當a＞0時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）分情況討論：
①當x＞1時，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②當x=1時，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③當x＜1時，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4       x=1 x2-1，x＜1

…（2分）
（Ⅱ）若F（x）為奇函數，則F（0）=f（-k）=0，
①當-k＞1時，解出k=-1或-3，但k=-3不符合題意；②當-k=1時，解出f（-k）=0，恒成立，得k=-1；
③當-k＜1時，解出k=-1或1，但k=1不符合題意
綜上所述，得當k=-1時，F（x）為奇函數．…（4分）
（Ⅲ）由已知，得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

并且函數s=x²-x+a-a²與t=x²+x-a-a²在x=a處的值相同．…（5分）
①當a≥

1

2

時，h（x）在區間(-∞，-

1

2

)上單調遞減，在區間(-

1

2

，a)上單調遞增，在區間（a，+∞）上單調遞增．
所以，h（x）的最小值為f(-

1

2

)=(-

1

2

)2+(-

1

2

)-a-a2=-a2-a-

1

4

．…（6分）
當-

1

2

＜a＜

1

2

時，h（x）在區間(-∞，-

1

2

)上單調遞減，在區間(-

1

2

，a)上單調遞增，在區間(a，

1

2

)上單調遞減，在區間(

1

2

，+∞)上單調遞增．
所以h（x）最小值為f(-

1

2

)與f(

1

2

)中較小的一個，即-a2-a-

1

4

與-a2+a-

1

4

中較小的一個．
②當-

1

2

＜a＜0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

．…（7分）
③當0≤a＜

1

2

時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．…（8分）
④當a≤-

1

2

時，在區間（-∞，a）上單調遞減，在區間(a，

1

2

)上單調遞減，在區間(

1

2

，+∞)上單調遞增．
所以h（x）的最小值為f(

1

2

)=(

1

2

)2-(

1

2

)+a-a2=-a2+a-

1

4

．…（9分）
綜上所述，得：當a≤0時，h（x）的最小值為-a2+a-

1

4

，當a＞0時，h（x）的最小值為-a2-a-

1

4

．…（10分）

點評：本題以分段函數和含有字母參數的二次函數為載體，討論函數的單調性、奇偶性與最小值，著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數解析式的求解及常用方法和奇偶性與單調性的綜合等知識，屬于難題．