Question

已知定點(diǎn)Q(6，0)和拋物線y²=8x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，其中A、B的橫坐標(biāo)x₁、x₂滿足x₁≠x₂，且x₁+x₂=4．

(1)證明線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q；

(2)當(dāng)A、B兩點(diǎn)的距離為何值時(shí)，△AQB的面積最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為 則 線段AB的垂直平分線的方程為 ① 為方程①的一個(gè)解， 即以(6，0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上， ∴線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q(6，0)． (2)由(I)知，直線AB的方程為 由 消去x，得 ② 依題意y1、y2為方程②的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且y1≠y2， ∴解得－4＜y0＜4．又 Q(6，0)到直線AB的距離 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 此時(shí) 故當(dāng)A、B兩點(diǎn)的距離為時(shí)，△AQB的面積最大．