Question

已知常數a為正實數，在曲線C_n：上一點P（x_n，y_n）處的切線L_n總經過定點（-a，0），（n∈N^*）．求證點列：P₁，P₂，…，P_n在同一直線上．（關鍵是：P_i在同一直線上有三種情況：①x_i相同；②y_i相同；③為常數）

Answer 1

【答案】分析：欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=x_n處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．寫出切線方程，由P_n（a，）在曲線C_n上可得x_n=a，，可證P總在直線x=a上，即P₁，P₂，，P_n在同一直線上，從而問題解決．
（法二）：由切線過點（-a，0）得切線方程為y=k_n（x+a），由方程組可得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0，由△=0可得k_n²=，代入到方程中可求得x_n=a，即可證
解答：證法一：f（x）=（3分）
C_n：y=上一點P（x_n，y_n）處的切線L_n的斜率k_n=f'（x_n）=L_n的方程為y-y_n=（7分）
∵L_n經過點（-a，0）
∴=（a+x_n）
又∵P_n在曲線C_n上，
∴=
∴x_n=a，
∴總在直線x=a上（10分）
即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x=a上 （14分）
證法二：設切線L_n的斜率為k_n，
由切線過點（-a，0）得切線方程為y=k_n（x+a）（3分）
則方程組的解為，
用代入法消去y化簡得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0（*）；（7分）
有△=（2ak_n²-n）²-4k_n²•k_n²a²=-4ank_n²+n²=0∴k_n²=
即=0（10分）
∴x=a即有x_n=a，y_n=
即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x=a上  （14分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．