Question

已知函數f(x)=

x+3

x

：
（1）寫出此函數的定義域和值域；
（2）證明函數在（0，+∞）為單調遞減函數；
（3）試判斷并證明函數y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠0}．
f(x)=1+

3

x

，∴值域為{y|y≠1}．
（2）證明：設0＜x₁＜x₂，
則：f(x2)-f(x1)=(1+

3

x2

)-(1+

3

x1

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1•x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數在（0，+∞）上為單調遞減函數．
（3）函數定義域關于原點對稱，
設g(x)=(x-3)f(x)=

x2-9

x

，
∵g(-x)=

x2-9

-x

=-g(x)，
∴此函數為奇函數．