Question

【題目】如圖，已知矩形所在平面與底面垂直，在直角梯形中， ， ， .

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證明，以， ， 為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明，結合題設根據線面垂直的判定定理可得結論；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：(1)證明：∵矩形所在平面與底面垂直，則底面.

∵， ，則，如圖，以為坐標原點，以， ， 為坐標軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則， ， ， ，

∵，則， ，

且，則平面.

(2)設平面的一個法向量為，由于， ，

由，得，令得.

同理求得平面的一個法向量為.

設二面角的平面角為，

則.

又二面角為銳二面角，所以二面角的大小是.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求法向量二面角及線面垂直的判定，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.