Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1．

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中點，求二面角M﹣AD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

在△ABC中，由余弦定理可得：AC2= ﹣2× =2，

∴AC2+BC2=AB2=4，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，

又PC∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）解：由（1）可得：AD=CD=1，分別以AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

則A（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），M（ ， ， ），取平面ACD的法向量 = =（0，0，1）．

設平面ADM的法向量為 =（x，y，z）， =（ ， ， ）， =（1，0，0）．

由 ，得 ，取 =（0，1，﹣1）．

cos = = ，

設二面角M﹣AD﹣C的大小為θ，易知θ為銳角．∴cosθ= ，θ=45°．

∴二面角M﹣AD﹣C的大小為45°．

【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=2，因此AC2+BC2=AB2 ， 可得AC⊥BC，即可證明BC⊥平面PAC．（2）由（1）可得：AD=CD=1，分別以AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．取平面ACD的法向量 = =（0，0，1）．設平面ADM的法向量為 =（x，y，z），由 ，可得 ．利用cos = ，即可得出．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．