Question

【題目】設函數，已知不單調，且其導函數存在唯一零點.

（1）求的取值范圍；

（2）若集合，，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側的符號相反. ，

.對a分類討論，分析函數的單調性從而得到的取值范圍；

（2）由（1）知，設，即.則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，∴的值域為，即.

要使，只需

（1）由題意得有唯一零點，且在零點兩側的符號相反.

，.

①當時，，故在區間上單調遞增，又時，，

故在區間上存在唯一零點且在零點兩側的符號相反.

②當時，，得，故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

若，則存在唯一零點，但在零點兩側都為負，不合題意；

若，則恒成立，此時無零點，不合題意；

若，又時，，時，，此時有兩個零點，不合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（2）由（1）知，設，即.

則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

∴的值域為，即.

要使，只需，即，

也就是.

又，故，即.

又在區間上單調遞增函數，

∴要證 只要證，即.

而，故結論得證.