Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí),記的極大值為,極小值為,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)得到，再對(duì)參數(shù)分兩類進(jìn)行討論： 時(shí)， 恒成立，即 恒成立， 在區(qū)間上單調(diào)遞增； 時(shí)， 有兩根，記，則，由得，解得或 ，所以遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）先借助（1）的結(jié)論求出進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的值域，又，

所以 ，然后構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)可得，即，所以當(dāng)時(shí)， ，即在時(shí)單調(diào)遞減，由，當(dāng)時(shí)， 遞減，又時(shí)， ， 時(shí)， ，所以，所以，最后求出的取值范圍是．

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ， ，

（一）時(shí)， 恒成立，即 恒成立， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；（二）時(shí)， 有兩根，記，則，

由得，解得或 ，

所以遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，

所以，又，

所以

，

記 ，則，

即，所以當(dāng)時(shí)， ，即在時(shí)單調(diào)遞減，

由，當(dāng)時(shí)， 遞減，

又時(shí)， ， 時(shí)， ，所以，所以，

所以的取值范圍是．