Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項式系數的和；
（2）各項系數的和；
（3）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；
（4）奇數項系數和與偶數項系數和；
（5）x的奇次項系數和與x的偶次項系數和.

Answer 1

(1) 2¹⁰ (2) 1(3) 2⁹（4）（5）

設(2x-3y)¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰           (*)
各項系數和即為a₀+a₁+…+a₁₀,奇數項系數和為a₀+a₂+…+a₁₀,偶數項系數和為a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的奇次項系數和為a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的偶次項系數和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀.
由于（*）是恒等式，故可用“賦值法”求出相關的系數和.
（1）二項式系數和為C+C+…+C=2¹⁰.
（2）令x=y=1,各項系數和為(2-3)¹⁰=(-1)¹⁰=1.
（3)奇數項的二項式系數和為C+C+…+C=2⁹,
偶數項的二項式系數和為C+C+…+C=2⁹.
(4)設（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰
令x=y=1,得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀="1                                 " ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰                                        ②
①+②得2(a₀+a₂+…+a₁₀)=1+5¹⁰,
∴奇數項的系數和為；
①-②得2(a₁+a₃+…+a₉)=1-5¹⁰,
∴偶數項的系數和為.
（5）x的奇次項系數和為a₁+a₃+a₅+…+a₉=;
x的偶次項系數和為a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=.