Question

【題目】如圖，四棱錐S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1DC=SD=2， E為棱SB上的一點，且SE=2EB．

(I)證明：DE⊥平面SBC；

(II)證明：求二面角A- DE -C的大小

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明略；(Ⅱ)．

【解析】

試題（Ⅰ）先根據題意建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用空間向量證明線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進行證明；(Ⅱ)求出兩平面的法向量，求出法向量的夾角，再結合圖形確定二面角的大小.

試題解析：分別以，，所在直線為x軸，軸，z建立空間直角坐標系（如圖），

則，

（Ⅰ）∵SE=2EB，

∴

又

∴

∴

又∴DE平面SBC

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC，

∵平面SBC，∴

當時，知，，

取中點，則，

故，由此得FA⊥DE

∴向量與的夾角等于二面角的平面角

又，

∴二面角的大小為