Question

根據下面各數列前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…

Answer 1

（1）a_n=.（2）a_n=.（3）a_n= (10ⁿ-1).（4）a_n=5sin.（5）a_n=2ⁿ-1

（1）這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一項都是兩個相鄰奇數的乘積，經過組合，則所求數列的通項公式
a_n=.
（2）數列的項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統一成分數再觀察：，，，，，…，
可得通項公式a_n=.
（3）聯想=10ⁿ-1,
則a_n===(10ⁿ-1),
即a_n= (10ⁿ-1).
（4）數列的各項都具有周期性，聯想基本數列1，0，-1，0，…，
則a_n=5sin.
（5）∵1=2-1，3=2²-1，7=2³-1，…
∴a_n=2ⁿ-1
故所求數列的通項公式為a_n=2ⁿ-1.