Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，為正三角形，，，點，分別為線段、的中點，、分別為線段、上一點，且，.

（1）確定點的位置，使得平面；

（2）試問：直線上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的大小為，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在點，且.

【解析】試題分析：

試題解析：

解：（1）為線段的靠近的三等分點.

在線段上取一點，使得，因為，∴，

因為為中點，∴，

當為線段靠近的三等分點時，即，，又易知，∴.

又，所以平面平面，因為平面，所以平面.

（2）取中點，連接，因為為正三角形，所以，又側面底面，

所以底面，

以為軸，的中垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則

，，設，

則，，

設平面的法向量為，

則，

即，

令，得平面的一個法向量為.

易得平面的一個法向量為，

所以，

解得，故存在點，且.