Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數的定義域，然后求導數，根據導函數的正負判斷函數的單調性進而可求出最小值．
（2）將f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立轉化為不等式對于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，對函數g（x）進行求導，根據導函數的正負可判斷其單調性進而求出最小值，使得a小于等于這個最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．
從而f（x）在單調遞減，在單調遞增．
所以，當時，f（x）取得最小值．
（Ⅱ）依題意，得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式對于x∈[1，+∞）恒成立．
令，
則．
當x＞1時，
因為，
故g（x）是（1，+∞）上的增函數，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（-∞，1]．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、根據導數求函數的最值．導數是高等數學下放到高中的內容，是每年必考的熱點問題，要給予重視．