Question

已知函數
（1）求函數在上的最大值與最小值；
（2）若時，函數的圖像恒在直線上方，求實數的取值范圍；
（3）證明：當時，

Answer 1

（1）;（2）;(3)證明見解析．

試題分析：（1）由知當時，，當時，，可得函數的最值．(2)當時，函數的圖象恒直線的上方，等價于時，不等式恒成立，即恒成立．令,由可得的取值，從而得的取值；（3）由（2）知當時，，，則，即，令取1，2…可得不等式，累加可得．
解：（1）定義域為，且，
當時，，
當時，,
在為為減函數；在上為增函數，

 ．
(2)當時，函數的圖象恒直線的上方，等價于時，不等式恒成立，即恒成立，令，則當時，，故在  上遞增，所以時，，故滿足條件的實數取值范圍是．
（3）證明：由（2）知當時，     
令，則，化簡得      

  

即