Question

a

=（1，1），

b

=（1，0），

c

滿足

a

•

c

=0，且|

a

|=|

c

|，

b

•

c

＞0
（I）求向量

c

；
（II）若映射f：(x，y)→(x′，y′)=x

a

+y

c

①求映射f下（1，2）原象；
②若將（x、y）作點(diǎn)的坐標(biāo)，問(wèn)是否存在直線l使得直線l上任一點(diǎn)在映射f的作用下，仍在直線上，若存在求出l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)

c

=(x，y)，由已知得到關(guān)于x、y的方程組，求出x、y，即求得向量

c

；
（II）根據(jù)映射f：(x，y)→(x′，y′)=x

a

+y

c

，①求映射f下（1，2）原象，列出方程，解方程即可；②存在性命題的探討，轉(zhuǎn)化為（1+k）y=（1-k）x-b與y=kx+b表示同一直線，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，求得直線方程．

解答：解：（I）設(shè)

c

=(x，y)，則

x+y=0 x2+y2=2 x＞0

∴

x=1 y=-1

∴

c

=（1，-1）

（II）①x（1，1）+y（1，-1）=（1，2）
∴

x= 3 2 y=- 1 2

∴原象是(

3

2

，-

1

2

)
②假設(shè)l存在，設(shè)其方程為y=kx+b（k≠0），
∴x

a

+y

b

=（x+y，x-y）
點(diǎn)（x+y，x-y）在直線上
∴x-y=k（x+y）+b
即（1+k）y=（1-k）x-b與y=kx+b表示同一直線，
必有-b=b，

1-k

1+k

=k，
解可得b=0，k=-1±

2

，
∴直線?存在其方程為y=(-1±

2

)x．

點(diǎn)評(píng)：考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題，對(duì)映射的定義，增加了試題新穎和綜合，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和方程的思想方法，很好．