Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若函數為定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，函數的兩個極值點為， ，且.證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析。

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得函數的定義域與導函數，然后結合判別式判斷導函數的符號，得到函數的單調性，從而求得的取值范圍；（Ⅱ）首先將問題轉化為有兩個不等的實根， ，由此得到的范圍，從而得到的范圍，然后根據的表達式構造新函數，由此通過求導研究新函數的單調性使問題得證．

（Ⅰ）函數的定義域為．　

由題意 ， ， .

①若，即，則恒成立，則在上為單調減函數；

②若，即，方程的兩個根為， ，當時， ，所以函數單調遞減，當時， ，所以函數單調遞增，不符合題意．　

綜上，若函數為定義域上的單調函數，則實數的取值范圍為.

（Ⅱ）因為函數有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，

即有兩個不等的實根， ，

可得，且，

因為，則，可得.

，

.

令， ， ，

∵，

又， 時， ，

而，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上單調遞減，

所以，得證．