Question

【題目】將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，得曲線C．
（1）寫出C的參數方程；
（2）設直線l：2x+y﹣2=0與C的交點為P1 ， P2 ， 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：在曲線C上任意取一點（x，y），由題意可得點（x， ）在圓x2+y2=1上，

∴x2+ =1，即曲線C的方程為 x2+ =1，化為參數方程為 （0≤θ＜2π，θ為參數）．

（2）解：由 ，可得 ， ，不妨設P1（1，0）、P2（0，2），

則線段P1P2的中點坐標為（ ，1），

再根據與l垂直的直線的斜率為 ，故所求的直線的方程為y﹣1= （x﹣ ），即x﹣2y+ =0．

再根據x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標方程為ρcosα﹣2ρsinα+ =0，

即 ρ=

【解析】（1）在曲線C上任意取一點（x，y），再根據點（x， ）在圓x2+y2=1上，求出C的方程，化為參數方程．（2）解方程組求得P1、P2的坐標，可得線段P1P2的中點坐標．再根據與l垂直的直線的斜率為 ，用點斜式求得所求的直線的方程，再根據x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標方程．