Question

（文）已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，故d=1，d=0（舍去由此能求出{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（2）由

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）由題設(shè)知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．                        …（5分）
（2）∵

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴Sn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．