Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)C。

（1）證明：；

（2）求的最大值，并求取得最大值時(shí)線段AB的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）由題設(shè)知，F(xiàn)(，0)，C(－，0)，

設(shè)A(x­₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直線l方程為x＝my＋，

代入拋物線方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0．

y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²．                                     …4分

不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，則∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                     …8分此時(shí)∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                      …12分

【解析】本題以直線和拋物線的位置關(guān)系為背景考查角的證明以及最值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，第一問(wèn)可通過(guò)直線和方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和計(jì)算角的正切值進(jìn)行證明；第二問(wèn)借助第一問(wèn)的結(jié)論，借助均值不等式進(jìn)行求解最值.