Question

如圖，給出四棱錐P-ABCD的直觀圖及其三視圖
 
(1)、據此說明四棱錐P-ABCD具有的特征及已知條件;
(2)、由你給出的特征及條件證明:面PAD⊥面PCD
(3)、若PC中點為E,求直線AE與面PCD所成角的余弦值. 

Answer 1

解:(1)由圖可知四棱錐P-ABCD中有
①ABCD為直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)

②PA⊥面ABCD,      
③PA=AD=CD=2,  AB=1          5分
⑵ 由(1)知PA⊥面ABCD  ∴PA⊥CD
又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD
而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PAD
CD面PCD  
∴面PAD⊥面PCD                9分
⑶取PD中點F,連結EF;則EF
在,PA=AD,PAAD
∴AF⊥PD且
又由(2)知面PAD⊥面PCD
∴AF⊥面PCD
∴∠AEF為AE與面PCD所成的角          12分
在△AEF中, ∠AFE=90⁰,,EF=1
∴
即AE與面PCD所成角的余弦值為         14分
 (3)由E為PC中點  ∴E
由(2)知面PCD的一個法向量為
設AE與面PCD所成角為

即AE與面PCD所成角的余弦值為